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第23章 无法传授的直觉（第2页）

“肖哥，你看这题。”

他把试卷推过来，指著最后一道压轴题。

“证明：若f在[0，1]上连续，在（0，1）內可导，且f（0）=f（1）=0，则存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=f（ξ）。”

肖宿扫了一眼题目，点点头。

“嗯，用你之前问我的那个『微分中值定理的推广形式。”

“对啊！

你当时说构造辅助函数f（x）=e^{-x}f（x），然后用罗尔定理。

但我考试时脑子一抽，构造了个f（x）=f（x）e^{x}，然后就全错了……”

陈林欲哭无泪。

肖宿拿过草稿纸，写下一个简洁的证明过程。

“设f（x）=e^{-x}f（x）。

则f在[0，1]上连续，在（0，1）內可导，且f（0）=f（0）=0，f（1）=e^{-1}f（1）=0。

由罗尔定理，存在ξ∈（0，1），使f（ξ）=0。”

“而f（x）=e^{-x}f（x）-e^{-x}f（x）=e^{-x}[f（x）-f（x）]。

故f（ξ）=e^{-ξ}[f（ξ）-f（ξ）]=0。

由於e^{-ξ}≠0，故f（ξ）-f（ξ）=0，即f（ξ）=f（ξ）。

证毕。”

陈林盯著那几行字，表情从困惑到恍然再到懊恼。

“就这么简单？！

我考试时怎么就没想到用e^{-x}呢……”

“因为你被形式迷惑了。”

肖宿平静地说。

“这道题的本质是要构造一个函数，让它的导数能產生f（x）-f（x）的结构。

e^{-x}的导数是-e^{-x}，所以乘上去后，乘积的导数会出现f（x）-f（x）项。

这是標准技巧。”

陈林挠著头：“道理我都懂，可考试时就是反应不过来。

肖哥，你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”

肖宿沉默了几秒，似乎在思考如何回答。

最后他说：“多想想『为什么，少记『怎么做。

每个技巧背后都有它的几何或代数原因。

比如这个e^{-x}，它是指数函数，是指数函数导数的自相似性导致了这种构造可行。

想明白这一点，下次遇到类似问题自然就能想到。”

陈林似懂非懂地点点头，把肖宿写的证明过程仔细抄在笔记本上。