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第46章 解决（第1页）

接下来的两天，肖宿几乎泡在计算机系的实验室里。

他还在思考流形正则化的具体形式。

社交网络的高维嵌入本质上是一组向量，这些向量应该位於某个低维流形上，这是他的直觉，但需要严格的数学证明。

他在白板上画著示意图。

一个高维空间，里面有一个弯曲的低维流形，数据点分布在这个流形上。

“就像宇宙中的星系。”

李雨薇看著示意图说，“看起来散布在三维空间，但实际上可能分布在某些二维的膜上，这是弦理论的说法对吧？”

肖宿点头。

他最近在读理论物理，確实看到过类似的概念。

数学的奇妙之处就在於，不同领域的结构常常惊人地相似。

第二天上午，他在图书馆翻阅一本关於李群表示论的专著时，突然有了灵感。

那本书叫《李群与李代数的表示》，作者是法国数学家塞尔日·朗。

书中有一章讲齐性空间的几何，提到每个齐性空间都可以看作某个李群模去一个闭子群的商空间。

而在这个商空间上，李群自然地作用，给出丰富的对称性。

肖宿盯著书中的一段话看了很久：

“齐性空间上的几何由李群的表示理论完全决定。”

突然之间，之前模糊的想法变得清晰起来。

社交网络中用户的相似性关係可能构成某种近似对称性。

如果用户a和用户b相似，用户b和用户c相似，那么用户a和用户c也应该有某种相似性。

这不完全是对称的，但近似满足传递性。

这种“近似对称性”

可以用李群的“软”

作用来描述，即允许作用有小的误差。

如果把嵌入空间取为某个李群的齐性空间，那么嵌入向量之间的变换就可以用群元素表示，而嵌入的稳定性就对应於群作用的连续性。

这个想法非常大胆。

因为李群理论通常应用於理论物理和纯数学的深奥领域，很少有人把它用到算法设计这种“世俗”

的问题上。

但肖宿觉得这很自然，数学工具没有高低贵贱之分，只有適用与否。

下午，肖宿带著这个想法回到实验室。

赵明远和几个博士生围过来，听他解释。

肖宿在白板上画了一个新的示意图。

“我们要找的不是一般的低维流形。”

“而是某个李群作用的轨道。

更精確地说，是李群g模去一个闭子群h得到的齐性空间gh。”

他在白板上写下：

设g是李群，h是闭子群，则齐性空间m=gh上有一个自然的g作用：g·（xh）=（gx）h。